数度归宗：大明算学馆的进制秘案
一、钦天监异数，decimal之惑
万历二十三年，南京钦天监的算学馆内，铜灯彻夜不熄。算学博士徐光启正对着案几上的一卷西洋手稿蹙眉沉思，手稿上“decimal 65.625”的字样，如同一个难解的谜题，困扰了他多日。
这卷手稿是意大利传教士利玛窦从欧洲带来的，上面记载着西洋算学的“进制转换之术”。利玛窦在与徐光启合着《几何原本》时，偶然提及“天下之数，不止十进制一种，二进制、十六进制亦有妙用”，并留下了这个神秘的数字“65.625”，称其为“数之枢纽”，可贯通三种进制。
徐光启精通《九章算术》，对十进制运算了如指掌，却从未听闻“二进制”“十六进制”的说法。他尝试用十进制的逻辑推演，将65.625拆分为60+5+0.6+0.025，却始终无法触及二进制与十六进制的核心。
“徐博士，夜深了，何不歇息片刻？”利玛窦推门而入，手中捧着一盏西洋玻璃灯，灯光照亮了手稿上的符号。
徐光启起身拱手：“利先生，此数‘65.625’究竟有何玄机？二进制、十六进制又该如何推演？”
利玛窦微微一笑，将玻璃灯放在案几上，指着手稿解释：“十进制以‘十’为进，二进制以‘二’为进，十六进制以‘十六’为进。如65.625，在二进制中是‘.101’，在十六进制中是‘41.A’，只是西洋符号过于晦涩，需转化为大明算学可解之法。”
徐光启闻言，眼中闪过一丝灵光：“先生之意，是如同度量衡换算一般，找到不同进制的‘换算之规’？”
“正是！”利玛窦点头，“十进制转二进制，整数部分‘除二取余’，小数部分‘乘二取整’；转十六进制，整数部分‘除十六取余’，小数部分‘乘十六取整’。只是这‘取余’‘取整’的推演过程，需耗费大量心神，且需验证其准确性。”
徐光启当即下令，封闭算学馆，召集馆内最顶尖的算吏，组成“进制推演小组”，以65.625为引，探寻二进制与十六进制的转换之术。他深知，此事若成，必将为大明算学开辟新的天地，甚至能助力天文历法、工程建造的精准运算。
二、除二取余，binary之径
推演工作从十进制转二进制开始。徐光启根据利玛窦的提示，将转换之法拆解为“整数部分”与“小数部分”，分别推演。
整数部分“除二取余”是第一步。徐光启取65为基数，命算吏用算筹演算：“65除以二，商32，余数1；32除以二，商16，余数0；16除以二，商8，余数0；8除以二，商4，余数0；4除以二，商2，余数0；2除以二，商1，余数0；1除以二，商0，余数1。”
算吏们按顺序记录余数，得到“1、0、0、0、0、0、1”。徐光启凝视着这串数字，陷入沉思：“余数需逆序排列，方可得到二进制的整数部分。如此一来，65的二进制整数，便是‘’？”
利玛窦在一旁验证，点头称是：“徐博士所言极是。二进制中，每一位代表‘二的幂次’，从右往左依次为2?、21、22……，便是2?+2?=64+1=65，分毫不差。”
整数部分的成功，让算吏们士气大振。接下来是小数部分“乘二取整”，目标是0.625。徐光启亲自演算：“0.625乘二，得1.25，取整数1；剩余0.25乘二，得0.5，取整数0；剩余0.5乘二，得1.0，取整数1。”
算吏们按顺序记录整数，得到“1、0、1”。徐光启将整数部分与小数部分结合，得到“.101”。他反复演算验证：“.101，整数部分65，小数部分1x2?1+0x2?2+1x2?3=0.5+0+0.125=0.625，正是65.625！”
算学馆内一片欢腾，算吏们纷纷感叹西洋算学的精妙。可徐光启却并未满足，他深知，二进制的转换只是第一步，十六进制的推演，难度更大——十六进制中，10至15需用字母代替，这与大明算学的数字体系截然不同。
利玛窦似乎看穿了他的心思，取出一枚西洋银币，上面刻着0至9的数字与A、b、c、d、E、F的符号：“徐博士，十六进制中，10对应A，11对应b……15对应F。65.625转十六进制，需沿用‘除基取余’‘乘基取整’之法，只是基数换为十六。”
徐光启接过银币，凝视着上面的符号，心中已有了推演的蓝图。
三、乘十六取整，hexadecimal之秘
十六进制的推演，从整数部分“除十六取余”开始。徐光启取65为基数，用算筹演算：“65除以十六，商4，余数1；4除以十六，商0，余数4。”
算吏们逆序排列余数，得到“4、1”。徐光启沉吟道：“如此一来，65的十六进制整数部分，便是‘41’？”
利玛窦点头，补充道：“4x161+1x16?=64+1=65，完全正确。接下来是小数部分0.625，需用‘乘十六取整’之法。”
徐光启亲自操持算筹，小心翼翼地演算：“0.625乘十六，得10.0，取整数10。按西洋规矩，10对应符号‘A’，因此小数部分便是‘A’。”
他将整数部分与小数部分结合，得到“41.A”。为确保无误，徐光启反向推演：“41.A转化为十进制，4x16+1+10x16?1=64+1+0.625=65.625，分毫不差！”
算学馆内再次响起欢呼声，困扰多日的进制转换谜题，终于被解开。徐光启看着案几上的推演结果，感慨万千：“天下之数，殊途同归。十进制、二进制、十六进制，虽表现形式不同，却都遵循着‘数之规律’。此等学问，若能推广开来，必将造福大明。”
可就在此时，一名算吏匆匆闯入，神色慌张：“徐博士，利先生，东厂的人来了，说奉魏公公之命，要取走所有推演手稿！”
徐光启与利玛窦脸色骤变。他们深知，魏忠贤把持朝政，排斥异己，若进制转换之术落入东厂手中，不仅可能被用于迫害忠良，还可能因误解其原理而引发祸端。
“手稿绝不能落入东厂之手！”徐光启当机立断，命算史将核心推演过程抄录三份，一份藏于算学馆的密室，一份交由利玛窦带出南京，另一份则由自己随身携带。他将原始手稿烧毁，确保不外泄。
片刻后，东厂番子闯入算学馆，翻箱倒柜，却只找到一些无关紧要的算学典籍，悻悻而归。徐光启与利玛窦相视一眼，心中松了口气，却也明白，这进制转换之术的传承，注定不会一帆风顺。
四、数度传承，乱世薪火
此后数年，徐光启将进制转换之术融入《农政全书》《崇祯历书》的编纂中，用二进制的逻辑优化历法推算，用十六进制的便捷计算工程数据。利玛窦则将推演手稿带回欧洲，促进了东西方算学的交流。
可好景不长，崇祯十七年，李自成攻入北京，明朝灭亡。徐光启随身携带的推演手稿，在战乱中遗失。藏于算学馆密室的手稿，被清军南下时的战火焚毁。唯有利玛窦带出的那份手稿，在欧洲得以保存，成为后世计算机进制的重要参考。
清朝建立后，西方传教士再次来华，将进制转换之术重新传入中国。但此时的算学馆，已沦为朝廷的附庸，算吏们只知墨守成规，对二进制、十六进制的精妙之处视而不见。禁制转换之术，再次陷入沉寂。
乾隆年间，纪晓岚编纂《四库全书》时，偶然发现了徐光启与利玛窦的部分通信，其中提及65.625的进制转换。纪晓岚虽对西洋算学略有兴趣，却因缺乏完整的推演手稿，无法理解其核心原理，只能将通信收录于《四库全书》的“杂家类”，束之高阁。
鸦片战争后，西方列强用坚船利炮打开了中国的国门，近代工业与计算机技术传入中国。科学家华蘅芳、李善兰在翻译西方算学着作时，再次遇到了65.625这个数字，以及它的二进制“.101”与十六进制“41.A”。
当他们看到西方着作中“除二取余”“乘十六取整”的推演方法时，惊讶地发现，这与徐光启在数百年前的推演思路一脉相承。华蘅芳在《学算笔谈》中写道：“徐光启先生实乃华夏算学之先驱，其进制转换之思，与西人不谋而合，足见我华夏算学之精深。”
此时，人们才意识到，徐光启与利玛窦在大明算学馆的那段推演，早已为中国的进制研究埋下了种子。只是因时代动荡、战火纷飞，这颗种子未能及时发芽，直到数百年后，才在近代科技的土壤中，绽放出绚丽的花朵。
五、数度归宗，文明回响
如今，当我们在计算机屏幕上看到二进制“.101”与十六进制“41.A”时，很少有人会想到，这串数字背后，隐藏着一段跨越明清、连接东西方的算学传奇。
徐光启与利玛窦的推演，不仅解开了65.625的进制转换之谜，更搭建了东西方算学交流的桥梁。他们用算筹与手稿，证明了“天下之数，殊途同归”，无论十进制、二进制还是十六进制，都遵循着相同的数学规律。
在南京钦天监的旧址上，如今矗立着一座算学博物馆，馆内陈列着徐光启当年使用过的算筹、手稿复制品，以及65.625的三种进制转换演式。每当有游客驻足观看，讲解员都会讲述那段尘封的历史，讲述徐光启与利玛窦如何在乱世之中，坚守对算学的热爱，为文明的传承付出努力。
65.625这个数字，如同一个沉默的使者，见证了东西方文明的碰撞与融合，见证了算学的传承与发展。它告诉我们，科学的进步没有国界，没有时代的隔阂，只要人类对真理保持敬畏与追求，就能跨越时空，实现文明的共鸣。
而那段发生在大明算学馆的禁制秘案，也成为了一段不朽的传奇，提醒着我们，在历史的长河中，总有一些人，一些事，如同暗夜中的星辰，指引着文明前进的方向。他们的努力，或许在当时未能被完全理解，却会在后世，绽放出永恒的光芒。